Tổng ba góc trong tam giác có luôn bằng 180 độ không?

Có, với mọi tam giác trên mặt phẳng, không phụ thuộc hình dạng hay kích thước. Trên mặt cong như mặt cầu thì khác: ở đó tổng ba góc luôn lớn hơn 180 độ, vì hình học trên mặt cầu không dùng tiên đề đường thẳng song song của hình học phẳng.

Biết hai góc thì tính góc thứ ba thế nào?

Lấy 180 trừ đi tổng hai góc đã biết. Ví dụ hai góc là 50 độ và 60 độ thì góc thứ ba bằng 180 trừ 50 trừ 60, tức 70 độ.

Vì sao tam giác không thể có hai góc vuông?

Vì hai góc vuông cộng lại đã là 180 độ, không còn phần nào cho góc thứ ba. Góc thứ ba sẽ phải bằng 0 độ, nghĩa là hai cạnh trùng nhau và hình đó không còn là tam giác nữa.

Tổng ba góc trong tam giác vuông là bao nhiêu?

Vẫn là 180 độ. Một góc đã bằng 90 độ nên hai góc nhọn còn lại cộng lại đúng 90 độ, tức chúng phụ nhau. Biết một góc nhọn là 35 độ thì góc nhọn còn lại là 55 độ.

Mỗi góc của tam giác đều bằng bao nhiêu?

Bằng 60 độ. Tam giác đều có ba góc bằng nhau và tổng của chúng là 180 độ, nên mỗi góc bằng 180 chia 3. Đây cũng là lý do sáu tam giác đều ghép vừa khít quanh một điểm thành hình lục giác đều.

Vì sao tổng ba góc trong tam giác bằng 180°

Cắt ba góc của một tam giác rồi chụm chúng lại tại một điểm, ba góc xếp vừa khít thành một đường thẳng. Đường thẳng là 180°, nên tổng ba góc trong tam giác luôn bằng 180°.

Tóm tắt

Trong mọi tam giác, ba góc trong cộng lại luôn bằng 180°.
Không phụ thuộc tam giác nhọn, vuông hay tù, to hay nhỏ.
Chụm ba góc lại một điểm thì chúng vừa khít một đường thẳng — đó là chứng minh.
Biết hai góc là suy ra được góc thứ ba, không cần đo.

Kéo thanh trượt “Chụm ba góc lại” để mang ba góc về cùng một điểm, rồi kéo thanh “Hình dạng tam giác” sang những hình thật dẹt và thử tìm một tam giác làm hỏng điều đó.

Tổng ba góc trong tam giác nói gì

Trong một tam giác bất kỳ, gọi ba góc trong là $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ . Định lý nói $\alpha + \beta + \gamma = 180°$ .

Chữ bất kỳ ở đây mới là điều đáng chú ý. Tam giác đều có ba góc $60°$ ; tam giác vuông có một góc $90°$ và hai góc còn lại cộng lại $90°$ ; một tam giác dẹt gần thành đường thẳng có một góc gần $180°$ và hai góc còn lại gần $0°$ . Ba trường hợp trông chẳng liên quan gì nhau, nhưng tổng thì luôn đúng bằng $180°$ .

Cũng vì thế mà một tam giác không thể có hai góc vuông, và càng không thể có hai góc tù: chỉ riêng hai góc ấy đã chiếm hết hoặc vượt quá $180°$ , không còn chỗ cho góc thứ ba.

Vì sao tổng ba góc trong tam giác bằng 180°: chụm ba góc về một điểm

Vẽ một tam giác lên giấy, tô ba góc ở ba đỉnh bằng ba màu khác nhau, rồi xé rời ba góc ấy ra. Đặt chúng cạnh nhau sao cho ba mũi nhọn chụm vào cùng một điểm và không mảnh nào chồng lên mảnh nào.

Kết quả: ba góc phủ kín đúng một nửa vòng quay quanh điểm đó, tức là hai cạnh ngoài cùng nằm trên một đường thẳng. Không thừa ra khe hở nào, cũng không mảnh nào đè lên nhau.

Góc của một đường thẳng là $180°$ . Ba góc vừa khít vào đó, nên tổng của chúng đúng bằng $180°$ .

Muốn nói cho chặt hơn mà không cần kéo giấy, dùng đường thẳng song song. Qua đỉnh $C$ kẻ một đường song song với cạnh $AB$ . Góc giữa đường ấy và cạnh $CA$ bằng góc $A$ — hai góc so le trong của hai đường song song. Tương tự, góc bên kia bằng góc $B$ . Ba góc quanh đỉnh $C$ — góc bằng $A$ , góc $C$ , góc bằng $B$ — nằm trên một đường thẳng, nên chúng cộng lại bằng $180°$ . Đó chính là hình xé giấy, viết lại bằng lời.

Điều đáng thử là kéo thanh trượt hình dạng trong mô phỏng đến hai đầu, nơi tam giác dẹt nhất. Ba góc vẫn chụm vừa khít. Một chứng minh chỉ đúng với hình vẽ đẹp thì không phải chứng minh, nên việc không phá được nó mới là phần thuyết phục.

Dùng tổng ba góc để tìm góc chưa biết

Biết hai góc thì góc thứ ba là phần còn lại. Tam giác có hai góc $50°$ và $60°$ thì góc thứ ba là $180° - 50° - 60° = 70°$ .

Trong tam giác vuông, một góc đã là $90°$ , nên hai góc nhọn còn lại cộng lại đúng $90°$ — chúng phụ nhau. Biết một góc nhọn là $35°$ thì góc kia là $55°$ .

Tam giác cân có hai góc ở đáy bằng nhau. Nếu góc ở đỉnh là $40°$ thì hai góc đáy chia nhau phần còn lại: mỗi góc là $(180° - 40°) / 2 = 70°$ .

Tam giác đều có ba góc bằng nhau, nên mỗi góc là $180° / 3 = 60°$ . Đây là lý do hình lục giác đều ghép được từ sáu tam giác đều, và cũng là lý do tổ ong có hình sáu cạnh.

Một công cụ hay dùng nữa là góc ngoài. Góc ngoài tại một đỉnh bằng tổng hai góc trong không kề với nó — suy ra ngay từ định lý này, vì góc ngoài và góc trong kề nó cộng lại đã là $180°$ .

Khi nào tổng ba góc không còn là 180°

Định lý này đúng trên mặt phẳng, và nó dựa vào tiên đề về đường thẳng song song — cái đường song song đã kẻ qua đỉnh $C$ ở trên. Bỏ tiên đề ấy đi thì kết luận cũng đổi theo.

Trên mặt cầu, chẳng hạn bề mặt Trái Đất, tổng ba góc của một tam giác luôn lớn hơn $180°$ . Lấy một đỉnh ở Bắc Cực và hai đỉnh trên xích đạo cách nhau một phần tư vòng: cả ba góc đều bằng $90°$ , tổng là $270°$ .

Điều này không có nghĩa định lý sai. Nó có nghĩa định lý nói về hình học phẳng, và hình học phẳng chỉ là một trong nhiều hình học. Nhận ra một định lý phụ thuộc vào giả thiết nào là bước trưởng thành toán học lớn hơn nhiều so với việc nhớ được kết luận của nó.

Ba chỗ hay nhầm

Nhầm	Đúng
Tam giác to thì tổng góc lớn hơn	Kích thước không liên quan. Tam giác bé bằng hạt gạo hay lớn bằng sân bóng đều có tổng ba góc là $180°$ .
Tổng ba góc tứ giác cũng là $180°$	Tứ giác là $360°$ . Chia tứ giác thành hai tam giác bằng một đường chéo là thấy ngay: $2 \times 180° = 360°$ .
Tam giác có thể có hai góc vuông	Không. Hai góc vuông đã chiếm trọn $180°$ , góc thứ ba sẽ phải bằng $0°$ — khi đó không còn là tam giác.

Câu hỏi thường gặp

Tổng ba góc trong tam giác có luôn bằng 180 độ không?: Có, với mọi tam giác trên mặt phẳng, không phụ thuộc hình dạng hay kích thước. Trên mặt cong như mặt cầu thì khác: ở đó tổng ba góc luôn lớn hơn 180 độ, vì hình học trên mặt cầu không dùng tiên đề đường thẳng song song của hình học phẳng.
Biết hai góc thì tính góc thứ ba thế nào?: Lấy 180 trừ đi tổng hai góc đã biết. Ví dụ hai góc là 50 độ và 60 độ thì góc thứ ba bằng 180 trừ 50 trừ 60, tức 70 độ.
Vì sao tam giác không thể có hai góc vuông?: Vì hai góc vuông cộng lại đã là 180 độ, không còn phần nào cho góc thứ ba. Góc thứ ba sẽ phải bằng 0 độ, nghĩa là hai cạnh trùng nhau và hình đó không còn là tam giác nữa.
Tổng ba góc trong tam giác vuông là bao nhiêu?: Vẫn là 180 độ. Một góc đã bằng 90 độ nên hai góc nhọn còn lại cộng lại đúng 90 độ, tức chúng phụ nhau. Biết một góc nhọn là 35 độ thì góc nhọn còn lại là 55 độ.
Mỗi góc của tam giác đều bằng bao nhiêu?: Bằng 60 độ. Tam giác đều có ba góc bằng nhau và tổng của chúng là 180 độ, nên mỗi góc bằng 180 chia 3. Đây cũng là lý do sáu tam giác đều ghép vừa khít quanh một điểm thành hình lục giác đều.