Định lý Pythagore áp dụng cho tam giác nào?

Chỉ tam giác vuông, tức tam giác có một góc bằng 90 độ. Với tam giác nhọn thì tổng bình phương hai cạnh nhỏ lớn hơn bình phương cạnh lớn nhất, với tam giác tù thì nhỏ hơn. Góc vuông đúng là ranh giới giữa hai trường hợp đó.

Cạnh huyền là cạnh nào?

Là cạnh đối diện với góc vuông, và luôn là cạnh dài nhất của tam giác vuông. Trong công thức a bình cộng b bình bằng c bình thì c là cạnh huyền. Đặt nhầm cạnh huyền là lỗi hay gặp nhất khi giải bài.

Định lý đảo của định lý Pythagore là gì?

Nếu ba cạnh của một tam giác thỏa mãn a bình cộng b bình bằng c bình thì tam giác đó vuông, với góc vuông nằm đối diện cạnh c. Đây là cách thợ xây lấy góc vuông bằng dây theo tỉ lệ 3 - 4 - 5 mà không cần eke.

Có bao nhiêu cách chứng minh định lý Pythagore?

Rất nhiều, hàng trăm cách đã được ghi lại, từ xếp hình như trên đến dùng tam giác đồng dạng hay đại số. Cách xếp bốn tam giác trong một hình vuông thường được xem là dễ tin nhất vì nó không đòi hỏi kiến thức nào ngoài việc so sánh diện tích.

Vì sao phần trống ở hai cách xếp lại bằng nhau?

Vì hình vuông lớn giống nhau ở cả hai cách xếp nên tổng diện tích không đổi, và bốn tam giác cũng giống nhau nên phần bị che không đổi. Phần không bị che là hiệu của hai đại lượng không đổi, nên nó cũng không đổi.

Vì sao định lý Pythagore đúng

Định lý Pythagore đúng vì bốn tam giác vuông giống hệt nhau xếp được hai cách trong một hình vuông: cách này chừa ra a² và b², cách kia chừa ra c². Phần trống bằng nhau nên a² + b² = c².

Tóm tắt

Định lý nói: trong tam giác vuông, a² + b² = c², với c là cạnh huyền.
Không cần đo hay thử số — có thể thấy nó đúng bằng cách xếp hình.
Bốn tam giác vuông giống nhau, một hình vuông, hai cách xếp: đó là toàn bộ chứng minh.
Điều ngược lại cũng đúng, và đó là cách kiểm tra một góc có vuông hay không.

Kéo thanh trượt “Cách xếp” bên dưới để trượt bốn tam giác sang cách xếp thứ hai, và để ý phần màu sáng: nó đổi từ hai hình vuông thành một hình vuông nghiêng, nhưng diện tích thì không đổi.

Định lý Pythagore nói gì

Trong một tam giác vuông, gọi hai cạnh góc vuông là $a$ và $b$ , cạnh đối diện với góc vuông — cạnh dài nhất, gọi là cạnh huyền — là $c$ . Định lý Pythagore nói rằng $a^2 + b^2 = c^2$ .

Chú ý đây là quan hệ giữa diện tích, không phải giữa độ dài. $a^2$ là diện tích hình vuông dựng trên cạnh $a$ . Câu nói đầy đủ là: hình vuông dựng trên cạnh huyền có diện tích đúng bằng tổng diện tích hai hình vuông dựng trên hai cạnh góc vuông. Đọc như thế thì định lý mới có hình để nhìn, còn đọc như một công thức thì nó chỉ là ba chữ cái.

Điều này chỉ đúng với tam giác vuông. Tam giác nhọn thì $a^2 + b^2 > c^2$ , tam giác tù thì $a^2 + b^2 < c^2$ . Góc vuông là ranh giới, và đó cũng là lý do định lý dùng được để kiểm tra góc vuông chứ không chỉ để tính cạnh.

Vì sao định lý Pythagore đúng: xếp bốn tam giác vào một hình vuông

Lấy một hình vuông có cạnh $a + b$ , và bốn bản sao của cùng một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là $a$ và $b$ . Bốn tam giác này giống hệt nhau — cùng hình, cùng diện tích.

Cách xếp thứ nhất. Đặt bốn tam giác thành hai hình chữ nhật $a \times b$ : một dọc bên trái, một ngang bên dưới. Phần còn trống là hai hình vuông: một hình cạnh $a$ , một hình cạnh $b$ . Diện tích trống là $a^2 + b^2$ .

Cách xếp thứ hai. Vẫn hình vuông đó, vẫn bốn tam giác đó, nhưng đẩy mỗi tam giác vào một góc. Bốn cạnh huyền quay vào trong và khép lại thành một hình vuông nghiêng. Cạnh của nó chính là cạnh huyền $c$ , nên phần còn trống là $c^2$ .

Bây giờ so sánh hai cách xếp. Hình vuông lớn không đổi, nên tổng diện tích không đổi. Bốn tam giác không đổi, nên phần bị che không đổi. Vậy phần không bị che cũng phải không đổi. Cách thứ nhất chừa ra $a^2 + b^2$ , cách thứ hai chừa ra $c^2$ . Hai số đó buộc phải bằng nhau.

Đó là toàn bộ chứng minh, và nó không dùng đến một phép đo nào. Không cần biết $a$ và $b$ bằng bao nhiêu — kéo thanh trượt đầu tiên trong mô phỏng để đổi hình dạng tam giác, phần trống ở hai cách xếp vẫn luôn bằng nhau.

Một chi tiết đáng dừng lại: vì sao bốn cạnh huyền lại khép thành hình vuông chứ không phải một hình thoi? Vì mỗi góc của hình đó bằng $180° - (\alpha + \beta)$ , trong đó $\alpha$ và $\beta$ là hai góc nhọn của tam giác. Mà trong tam giác vuông thì $\alpha + \beta = 90°$ , nên mỗi góc bằng $90°$ . Bốn cạnh bằng nhau và bốn góc vuông: đó là hình vuông.

Kiểm tra định lý Pythagore bằng số

Tam giác quen thuộc nhất là $3 - 4 - 5$ . Ta có $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ , và $5^2 = 25$ . Bằng nhau, nên tam giác có ba cạnh $3, 4, 5$ là tam giác vuông.

Ngược lại, nếu biết hai cạnh góc vuông là $6$ và $8$ thì $c^2 = 36 + 64 = 100$ , suy ra $c = 10$ . Nếu biết cạnh huyền $13$ và một cạnh góc vuông $5$ thì cạnh còn lại là $\sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ .

Ba số nguyên thỏa mãn quan hệ này được gọi là bộ ba Pythagore. Vài bộ hay gặp trong đề: $(3,4,5)$ , $(5,12,13)$ , $(8,15,17)$ , $(7,24,25)$ . Nhân cả bộ với cùng một số vẫn được bộ mới — $(6,8,10)$ chỉ là $(3,4,5)$ nhân đôi — nên nhận ra $(3,4,5)$ là nhận ra cả một họ.

Phần lớn tam giác vuông không có ba cạnh nguyên. Tam giác vuông cân với hai cạnh góc vuông bằng $1$ có cạnh huyền $\sqrt{2}$ , và $\sqrt{2}$ không viết được thành phân số. Chính phát hiện này — từ định lý Pythagore mà ra — là lần đầu tiên người ta gặp số vô tỉ.

Định lý Pythagore dùng để làm gì

Công dụng trực tiếp nhất là đo cái không với tới được. Muốn biết chiều cao một cái cây mà không trèo lên: đo bóng và khoảng cách, phần còn lại là tính. Muốn biết cái thang dài $5$ m dựng cách chân tường $3$ m thì chạm tường ở độ cao nào: $\sqrt{25 - 9} = 4$ m.

Công dụng thứ hai ít được nhắc hơn nhưng dùng nhiều hơn: kiểm tra góc vuông. Thợ xây căng dây theo tỉ lệ $3 - 4 - 5$ để lấy góc vuông cho móng nhà, không cần eke. Nếu ba cạnh thỏa mãn $a^2 + b^2 = c^2$ thì góc giữa hai cạnh đầu chắc chắn vuông — đây là định lý đảo, và nó đúng.

Công dụng thứ ba là nền của mọi phép tính khoảng cách. Khoảng cách giữa hai điểm trên mặt phẳng toạ độ, $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ , chính là định lý Pythagore viết lại. Bản đồ, đồ hoạ máy tính, GPS đều tính khoảng cách bằng công thức đó.

Hai chỗ hay nhầm

Nhầm	Đúng
$a + b = c$	$a^2 + b^2 = c^2$ . Quan hệ nằm ở diện tích, không nằm ở độ dài. Cộng thẳng độ dài thì $3 + 4 = 7 \ne 5$ .
Cạnh nào cũng có thể là $c$	$c$ luôn là cạnh huyền — cạnh đối diện góc vuông, và là cạnh dài nhất. Đặt nhầm cạnh huyền là lỗi sai phổ biến nhất khi giải.
Dùng được cho mọi tam giác	Chỉ tam giác vuông. Tam giác nhọn cho $a^2 + b^2 > c^2$ , tam giác tù cho $a^2 + b^2 < c^2$ .
$\sqrt{a^2 + b^2} = a + b$	Căn của một tổng không bằng tổng các căn. $\sqrt{9 + 16} = 5$ , còn $3 + 4 = 7$ .

Câu hỏi thường gặp

Định lý Pythagore áp dụng cho tam giác nào?: Chỉ tam giác vuông, tức tam giác có một góc bằng 90 độ. Với tam giác nhọn thì tổng bình phương hai cạnh nhỏ lớn hơn bình phương cạnh lớn nhất, với tam giác tù thì nhỏ hơn. Góc vuông đúng là ranh giới giữa hai trường hợp đó.
Cạnh huyền là cạnh nào?: Là cạnh đối diện với góc vuông, và luôn là cạnh dài nhất của tam giác vuông. Trong công thức a bình cộng b bình bằng c bình thì c là cạnh huyền. Đặt nhầm cạnh huyền là lỗi hay gặp nhất khi giải bài.
Định lý đảo của định lý Pythagore là gì?: Nếu ba cạnh của một tam giác thỏa mãn a bình cộng b bình bằng c bình thì tam giác đó vuông, với góc vuông nằm đối diện cạnh c. Đây là cách thợ xây lấy góc vuông bằng dây theo tỉ lệ 3 - 4 - 5 mà không cần eke.
Có bao nhiêu cách chứng minh định lý Pythagore?: Rất nhiều, hàng trăm cách đã được ghi lại, từ xếp hình như trên đến dùng tam giác đồng dạng hay đại số. Cách xếp bốn tam giác trong một hình vuông thường được xem là dễ tin nhất vì nó không đòi hỏi kiến thức nào ngoài việc so sánh diện tích.
Vì sao phần trống ở hai cách xếp lại bằng nhau?: Vì hình vuông lớn giống nhau ở cả hai cách xếp nên tổng diện tích không đổi, và bốn tam giác cũng giống nhau nên phần bị che không đổi. Phần không bị che là hiệu của hai đại lượng không đổi, nên nó cũng không đổi.