Diện tích hình tròn và chu vi hình tròn khác nhau thế nào?

Chu vi là độ dài đường bao quanh, tính bằng công thức 2 nhân pi nhân bán kính, đơn vị là cm hay m. Diện tích là phần mặt bên trong, tính bằng pi nhân bán kính bình phương, đơn vị là cm vuông hay m vuông. Rào quanh thì cần chu vi, phủ kín thì cần diện tích.

Đề cho đường kính thì tính diện tích hình tròn thế nào?

Chia đôi đường kính để được bán kính rồi mới thay vào công thức. Đường kính 10 cm cho bán kính 5 cm và diện tích 25 pi, khoảng 78,5 cm vuông. Thay thẳng đường kính vào chỗ bán kính sẽ cho kết quả gấp bốn lần.

Vì sao lại là bình phương bán kính?

Vì hình xếp được từ các hình quạt có chiều rộng pi nhân r và chiều cao r, nên diện tích là tích của hai đại lượng cùng tỉ lệ với bán kính. Nói cách khác, diện tích là một đại lượng hai chiều nên nó phải tỉ lệ với bình phương của một độ dài.

Cắt bao nhiêu hình quạt thì công thức mới đúng?

Công thức đúng chính xác, không phụ thuộc số hình quạt. Số hình quạt chỉ ảnh hưởng đến việc hình xếp được trông giống hình chữ nhật đến đâu. Càng nhiều mảnh thì càng giống, và vì có thể làm sai lệch nhỏ tuỳ ý nên diện tích bằng đúng pi nhân r bình phương.

Bán kính gấp đôi thì diện tích gấp mấy?

Gấp bốn, vì diện tích tỉ lệ với bình phương bán kính. Bán kính gấp ba thì diện tích gấp chín. Đây là lý do một chiếc bánh cỡ lớn thường đáng tiền hơn nhiều so với cảm giác khi nhìn đường kính.

Vì sao diện tích hình tròn là πr²

Cắt hình tròn thành nhiều hình quạt bằng nhau rồi xếp xen kẽ, ta được một hình gần như hình chữ nhật rộng πr và cao r. Diện tích không đổi khi cắt ghép, nên diện tích hình tròn bằng πr · r = πr².

Tóm tắt

Diện tích hình tròn bán kính r là πr², không phải 2πr — đó là chu vi.
Cắt hình tròn thành hình quạt rồi xếp lại được một hình chữ nhật πr × r.
Chiều rộng πr chính là nửa chu vi, chiều cao r chính là bán kính.
Càng nhiều hình quạt thì hình xếp được càng giống hình chữ nhật — và công thức là đúng chính xác, không phải xấp xỉ.

Kéo thanh trượt “Trải ra” để mở hình tròn thành hàng, rồi kéo thanh “Số hình quạt” lên cao và xem hình xếp được thẳng dần thành hình chữ nhật.

Công thức diện tích hình tròn nói gì

Hình tròn bán kính $r$ có diện tích $S = \pi r^2$ . Số $\pi \approx 3{,}14159$ là tỉ số giữa chu vi và đường kính của mọi hình tròn — dù to hay nhỏ, tỉ số ấy vẫn thế, và chính điều đó khiến $\pi$ đáng có một tên riêng.

Chu vi của hình tròn đó là $C = 2\pi r$ . Hai công thức trông giống nhau nên rất dễ lẫn, nhưng chúng đo hai thứ khác hẳn: chu vi là độ dài đường bao, tính bằng cm; diện tích là phần mặt bên trong, tính bằng cm². Một câu hỏi hỏi sơn bao nhiêu là hỏi diện tích, hỏi rào bao nhiêu mét là hỏi chu vi.

Câu hỏi đáng hỏi không phải công thức là gì, mà vì sao lại là $\pi r^2$ chứ không phải $\pi r$ hay $2\pi r^2$ . Phần dưới trả lời bằng cách cắt hình tròn ra rồi xếp lại.

Vì sao diện tích hình tròn là πr²: cắt thành hình quạt rồi xếp lại

Lấy hình tròn bán kính $r$ và cắt nó thành $n$ hình quạt bằng nhau, như cắt bánh. Cắt xong, diện tích tổng cộng không đổi — ta chỉ chia nó ra chứ không bỏ đi miếng nào.

Bây giờ xếp các hình quạt thành một hàng, xen kẽ: một miếng quay mũi nhọn xuống, miếng kế quay mũi nhọn lên, cứ thế. Chúng cài vào nhau thành một hình gần giống hình chữ nhật, mép trên và mép dưới hơi gợn sóng.

Chiều cao của hình này là bán kính $r$ , vì mỗi hình quạt cao đúng bằng bán kính.

Chiều rộng thì thú vị hơn. Một nửa số hình quạt góp cung của mình cho mép trên, nửa còn lại góp cho mép dưới. Toàn bộ cung cộng lại là chu vi $2\pi r$ , nên mỗi mép dài đúng một nửa, tức $\pi r$ .

Vậy hình xếp được có kích thước $\pi r$ nhân $r$ , nên diện tích của nó là $\pi r \times r = \pi r^2$ . Mà diện tích ấy chính là diện tích hình tròn ban đầu, vì ta không thêm bớt gì. Xong.

Còn một chỗ cần nói cho chặt: với $n$ nhỏ thì hình xếp được không phải hình chữ nhật thật — mép nó gợn sóng và hai cạnh bên hơi nghiêng. Nhưng $n$ càng lớn thì sóng càng nông, cạnh bên càng thẳng, và hình càng gần hình chữ nhật. Kéo thanh trượt số hình quạt trong mô phỏng lên 48 hay 64 để thấy điều đó. Diện tích tiến gần $\pi r^2$ với sai số nhỏ tuỳ ý, nên nó bằng $\pi r^2$ chứ không chỉ xấp xỉ. Đây là lần đầu nhiều người gặp ý tưởng giới hạn, và gặp nó dưới dạng nhìn thấy được.

Tính diện tích hình tròn bằng số

Hình tròn bán kính $3$ cm có diện tích $\pi \times 3^2 = 9\pi \approx 28{,}3$ cm².

Nếu đề cho đường kính $10$ cm thì bán kính là $5$ cm, và diện tích là $\pi \times 5^2 = 25\pi \approx 78{,}5$ cm². Thay nhầm đường kính vào chỗ của $r$ sẽ cho kết quả gấp bốn lần — đây là lỗi sai phổ biến nhất ở dạng bài này.

Ngược lại, nếu biết diện tích là $50{,}24$ cm² và lấy $\pi \approx 3{,}14$ thì $r^2 = 50{,}24 / 3{,}14 = 16$ , suy ra $r = 4$ cm.

Một hệ quả đáng nhớ: nhân đôi bán kính thì diện tích gấp bốn, vì diện tích tỉ lệ với bình phương bán kính. Một chiếc pizza cỡ 30 cm có diện tích gấp hơn hai lần chiếc 20 cm, chứ không phải nhiều hơn một nửa như cảm giác ban đầu.

Diện tích hình tròn dùng để làm gì

Dùng nhiều nhất là khi cần biết một mặt tròn chứa được bao nhiêu: diện tích mặt bàn tròn để đặt khăn trải, tiết diện của một ống nước để tính lưu lượng, mặt cắt của dây điện để tính khả năng tải dòng.

Nó cũng là bước đầu để tính những thứ ba chiều. Thể tích một khối trụ là diện tích đáy nhân chiều cao, tức $\pi r^2 h$ ; muốn biết cái bể tròn chứa được bao nhiêu lít thì phải qua diện tích hình tròn trước.

Và cách chứng minh ở trên — cắt một hình thành nhiều mảnh nhỏ rồi xếp thành hình dễ tính hơn — không chỉ dùng cho hình tròn. Đó chính là ý tưởng nền của phép tính tích phân sau này: chia nhỏ mãi, cộng lại, rồi cho số mảnh tiến ra vô hạn.

Diện tích và chu vi hình tròn: đừng lẫn

Chu vi	Diện tích
$C = 2\pi r$	$S = \pi r^2$
Độ dài đường bao quanh hình tròn	Phần mặt nằm bên trong đường bao đó
Đơn vị là cm, m — đơn vị độ dài	Đơn vị là cm², m² — đơn vị diện tích
Nhân đôi bán kính thì chu vi gấp đôi	Nhân đôi bán kính thì diện tích gấp bốn
Rào quanh cái ao thì tính cái này	Phủ bạt kín cái ao thì tính cái này

Câu hỏi thường gặp

Diện tích hình tròn và chu vi hình tròn khác nhau thế nào?: Chu vi là độ dài đường bao quanh, tính bằng công thức 2 nhân pi nhân bán kính, đơn vị là cm hay m. Diện tích là phần mặt bên trong, tính bằng pi nhân bán kính bình phương, đơn vị là cm vuông hay m vuông. Rào quanh thì cần chu vi, phủ kín thì cần diện tích.
Đề cho đường kính thì tính diện tích hình tròn thế nào?: Chia đôi đường kính để được bán kính rồi mới thay vào công thức. Đường kính 10 cm cho bán kính 5 cm và diện tích 25 pi, khoảng 78,5 cm vuông. Thay thẳng đường kính vào chỗ bán kính sẽ cho kết quả gấp bốn lần.
Vì sao lại là bình phương bán kính?: Vì hình xếp được từ các hình quạt có chiều rộng pi nhân r và chiều cao r, nên diện tích là tích của hai đại lượng cùng tỉ lệ với bán kính. Nói cách khác, diện tích là một đại lượng hai chiều nên nó phải tỉ lệ với bình phương của một độ dài.
Cắt bao nhiêu hình quạt thì công thức mới đúng?: Công thức đúng chính xác, không phụ thuộc số hình quạt. Số hình quạt chỉ ảnh hưởng đến việc hình xếp được trông giống hình chữ nhật đến đâu. Càng nhiều mảnh thì càng giống, và vì có thể làm sai lệch nhỏ tuỳ ý nên diện tích bằng đúng pi nhân r bình phương.
Bán kính gấp đôi thì diện tích gấp mấy?: Gấp bốn, vì diện tích tỉ lệ với bình phương bán kính. Bán kính gấp ba thì diện tích gấp chín. Đây là lý do một chiếc bánh cỡ lớn thường đáng tiền hơn nhiều so với cảm giác khi nhìn đường kính.